Notas 3º EM1

	1º BIM	2º BIM	3º BIM	4º BIM	Total Anual
1	10,0	7,0	15,0		32,0
2	11,5	12,5			24,0
3	10,5	16,5	19,0		46,0
4	20,0	20,0	30,0		70,0
5	10,0	10,0	15,0		35,0
6	4,5	7,0	-		11,5
7	5,0	6,5	15,5		27,0
8	6,0	5,5	-		11,5
9	4,5	7,5	11,0		23,0
10	10,0	7,5	15,0		32,5
11	5,0	6,5	13,0		24,5
12	4,0	3,5	-		7,5
13	5,0	5,5	15,0		25,5
14	10,0	7,0	15,0		32,0
15	17,0	18,0	25,0		60,0
16	5,0	4,5	11,0		20,5
17	9,5	13,5	24,0		47,0
18	10,0	10,5	17,0		37,5
19	6,5	5,0	15,0		26,5
20	18,0	20,0	27,0		65,0
21	8,0	10,0	15,0		33,0
22	10,0	10,0	15,0		35,0
23	6,5	5,5	20,0		32,0
24	5,0	7,0	15,5		27,5
25	7,0	5,5	10,0		22,5
26	5,0	8,5	16,0		29,5
27	5,5	7,5	15,5		28,5
28	10,0	10,0	15,5		35,5
29	10,0	10,0	18,0		38,0
30	5,0	4,5	10,0		19,5
31	7,0	7,5	15,0		29,5
32	10,5	16,0	18,0		44,5
33	6,5	8,5	19,0		34,0
34	8,0	6,5	17,5		32,0
35		-	-		-
36		10,0	15,0		25,0
37					-
38					-
39
40
Média da	8,4	9,2	14,8
Turma

O Surgimento da Geometria Analítica

A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.
Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.
Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.
A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.
O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de freqüentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.
A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a idéia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.


HYGINO H. DOMINGUES

Geometria Analítica

1 - Introdução

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

1.1 - Coordenadas cartesianas na reta

Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.
Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A
é 1, etc.
A reta r é chamada eixo das abscissas.

1.2 - Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.
O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas.
O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.
No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é
x = 0.
Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x.
Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.
Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.


Exercícios Resolvidos

1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo
b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m < 4

Solução:
Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 2²).

2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x³ - x² + x + 14 = 0 
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
e) não existe r nestas condições .

Solução:
Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja:
(-2)³ - (-2)² + (-2) + 14 = 0  o que confirma que -2 é raiz da equação.

3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k ² é:

a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0

Solução:
Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.
Logo, k = 14 e portanto k² = 14² = 196.
Logo, a alternativa correta é a letra B.
2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d²_AB = (X_b - X_a)² + (Y_b - Y_a)² , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.



Exercício Resolvido
O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)

Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB² = ( 0 - 2 )² + ( y - 3 )² = 4 + ( y - 3 )²
AC² = ( 0 - (-4))² + ( y - 1)² = 16 + ( y - 1 )²
BC² = ( 2 - (-4))² + ( 3 - 1 )² = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )² + 16 + ( y - 1 )² = 40 \ ( y - 3 )² + ( y - 1)² = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y² - 6y + 9 + y² - 2y + 1 = 20 \ 2y² - 8y - 10 = 0 \ y² - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.


3 - Ponto médio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM .
Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto médio M(xm , ym) serão dadas por:

Exercício Resolvido

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W² é igual a:

a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16

Solução:
Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.

4 - Baricentro de um triângulo

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc) é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
Exercício resolvido
Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
Solução:
Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:
3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3
Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),
encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).
Agora resolva este:

Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto G(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.
Resposta: 850

A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Os estudos iniciais estão ligados ao matemático francês René Descartes (1596 -1650), criador do sistema de coordenadas cartesianas.

Os estudos relacionados à Geometria Analítica datam seu início no século XVII, Descartes, ao relacionar a Álgebra com a Geometria, criou princípios matemáticos capazes de analisar por métodos geométricos as propriedades do ponto, da reta e da circunferência, determinando distâncias entre eles, localização e pontos de coordenadas.

Uma característica importante da G.A. se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao espaço. As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na busca por resultados numéricos que expressem as ideias da união da Geometria com a Álgebra.

Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as características relacionadas a tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, Campo Elétrico entre outros conteúdos relacionados.
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia.

Podemos relacionar os seguintes tópicos ao estudo da G.A.:
Estudo Analítico do Ponto
Plano Cartesiano
Distância entre dois pontos
Ponto médio de um segmento
Condição de alinhamento de três pontos

Estudo da Circunferência
Equação geral e reduzida da circunferência
Posições relativas entre ponto e circunferência
Posições relativas entre reta e circunferência
Problemas relacionados à tangência cônica

Estudo da Reta
Equação geral e reduzida da reta
Intersecção entre retas
Paralelismo
Perpendicularidade
Ângulos entre retas
Distância entre ponto e reta

Estudo das Cônicas
Elipse
Hipérbole
Parábola Intersecção entre cônicas
Retas tangentes a uma

geometria analitica

Tarefa 2º Bimestre

Olá alunos!

Esta é a nossa terceira tarefa. Vocês devem ler o texto e responder as questões que se encontram logo abaixo do mesmo. 

Leiam com muita atenção! As questões devem ser respondidas e enviadas para o e-mail: jeduardolante@gmail.com 

As perguntas referentes ao texto devem ser repondidas com suas próprias palavras, podendo conter citações de partes do texto. As respostas não podem ser cópias do texto. Vocês tem até o dia 15/06/2010 para enviar suas respostas, não deixem para última hora!

Vamos lá galera, muita disposição! Aguardo a participação de todos.

Abraços,

José Eduardo.

História dos Números Complexos

A história dos números complexos revela-se fascinante. Registros históricos mostram que, em 2500 AC, os Sumérios já tinham necessidade da subtração. Os números que conhecemos como inteiros negativos são resultados de certas subtrações. Por exemplo, em notação moderna, o resultado da subtração 5 – 10 é –5. Matemáticos não resistiram, ao longo da História,  à pressão da curiosidade de multiplicar números negativos dando origem ao conjunto numérico que atualmente denominamos de conjunto dos Números Inteiros: {0, ±1, ±2, ±3...}. Os Pitagóricos (550 AC) acreditavam que o mundo poderia ser compreendido por meio de razões da forma m/n (racionais) com m e n naturais e n distinto de zero. Contudo, esse modelo do mundo ruiu quando se descobriu que a medida da diagonal do quadrado, de lados medindo 1, é . Ora,  não é razão de naturais! Além disso, os Pitagóricos descobriram muitos outros desse tipo: ,  , , , ... .
Portanto, por necessidades intrínsecas da investigação matemática, o universo dos números naturais foi expandido amplamente. Durante o desenvolvimento da Álgebra, na Idade Média, os matemáticos italianos exploraram vários tipos de equações e classificaram suas soluções. Essa investigação mostrou que algumas equações não possuíam solução em termos dos números conhecidos. Um dos problemas enfrentados consistia na solução da equação x² + 1 = 0. Essa equação não parecia ter solução, pois contrariava o fato de que todo número real distinto de zero, quando elevado ao quadrado, é positivo. Os matemáticos indianos e árabes, quando se deparavam com essas equações se recusavam a definir algum símbolo para expressar a raiz quadrada de um número negativo, pois consideravam o problema completamente sem sentido. No Século XVI, raízes quadradas de números negativos começaram a aparecer em textos algébricos, porém os autores frisavam que as expressões não possuíam significado e utilizavam termos tais como ”fictícias”, “impossíveis”, “sofisticadas”, para mencioná-las. O matemático alemão Leibniz (1646-1716), um dos inventores do Cálculo Diferencial, atribuía à raiz quadrada de –1 um certo caráter metafísico interpretando-a como uma manifestação do “Espírito Divino”; a mesma sensação de espanto sucedeu com o matemático suíço Lenhard Euler.

Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI, quando eles assumiram a existência de raízes quadradas de números negativos, apesar de considerarem tais raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los “números imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome de números imaginários quando nos referimos a raízes quadradas de números negativos. Postulando a existência de raízes quadradas de inteiros negativos, e assumindo que i é solução da equação x² + 1 = 0, ou seja, axiomatizando–se que i satisfaz a relação i² = –1, pode-se efetuar operações envolvendo i e os números reais. Dessa forma, para qualquer número real positivo a, a raiz quadrada do número negativo –a é i , ou seja,   =  i .

Dados os números reais c e d, podemos multiplicar d por i e obter i d, e adicionar a c para obtermos c + i d. Em geral, qualquer número complexo é escrito como c + d i, onde c é denominado “parte real” e d “parte imaginária”.  Portanto, obtemos números da forma c + i d formando o conjunto dos números complexos. No conjunto dos números complexos, podemos adicionar e multiplicar formando uma estrutura algébrica denominada corpo dos números complexos.

Os matemáticos costumam representar os números reais como pontos em uma reta denominada de reta real, onde a cada ponto corresponde um único número real e a cada número real associam um único ponto dessa reta. Como a raiz quadrada de um número negativo não pode ser representada nessa reta, persistiu um impasse até o Século XIX. O primeiro a propor uma visualização dos complexos identificando-os como pontos do plano bidimensional foi o autodidata norueguês Caspar Wessel em 1797. Essa idéia foi redescoberta por Jean-Robert Argand, um contador suíço, que publicou um livro em 1860 sobre o assunto, e também pelo genial matemático alemão Karl Friedrich Gauss. Como era impossível associar um ponto da reta real à raiz quadrada de um número negativo, a questão foi resolvida associando-se aos números imaginários pontos sobre uma reta perpendicular à reta real, passando pelo ponto zero, e dessa forma criando um sistema de coordenadas cartesianas. Nesse sistema, os números reais são colocados sobre o eixo horizontal, denominado eixo real, e todos os números imaginários sobre a reta perpendicular à reta real, passando pelo zero da reta real horizontal, denominado de eixo imaginário. Como  =   = i , todos os números  imaginários podem ser colocados no eixo imaginário como múltiplos de i = .

Portanto, não só os imaginários passam a ter uma representação gráfica, como as combinações possíveis de reais e imaginários, ou seja, os números complexos, são representados por pontos no plano definido pelos eixos real e imaginário, denominado plano complexo.

O talento e a genialidade de Gauss levaram a um dos resultados mais profundos da Matemática, o Teorema Fundamenta Álgebra, que afirma que toda equação polinomial possui solução no corpo dos números complexos. Além desse resultado importantíssimo, a álgebra dos números complexos originou uma nova área de investigação — a Análise Complexa — que tem um papel fundamental no desenvolvimento da Álgebra e da Teoria dos Números. Os números complexos representam uma das estruturas mais importantes da Ciência. Atualmente, é impossível imaginar a Engenharia Elétrica, a Aerodinâmica, ou a Dinâmica dos Fluidos, sem os números complexos. A Mecânica Quântica faz uso dos números complexos e, na Teoria da Relatividade de Einstein, o espaço tridimensional é visto como real e a dimensão relativa ao tempo como imaginário. 

Números Complexos, uma abordagem histórica 

A questão central desta página é "Como surgiram os Números Complexos?".

A maioria das pessoas, quando confrontadas com esta questão respondem que surgiram para resolver as equações de 2º grau da forma  x² + a = 0, sendo a um número positivo. No entanto, esta ideia está errada!

A abordagem aprofundada aos números complexos, apesar de ter sido feita a partir do séc. XVIII, foi mencionada levemente por outros matemáticos anteriores à data. No entanto, dada a incompreensão e o desconhecimento destes números, tais matemáticos abandonaram o seu estudo.

O primeiro matemático de que se tem conhecimento de se ter deparado com um problema que envolvia números complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) no livro Stereometrica. Este pretendia resolver a expressão:

Mas como não havia o domínio atual sobre estes números, abandonou o seu cálculo.

Por volta do ano 275 dC, Diophanto (200-284 aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a equação 24x² - 172x + 336 = 0. Como concluiu que não tinha soluções reais, não viu necessidade de dar sentido à raiz  

 Bhaskara (1114-1185 aprox.), um dos indianos que mais perto chegou das ideias da álgebra moderna (conhecia a regra "menos por menos dá mais", trabalhava com coeficientes negativos, etc.) reconhecia que a equação  x² - 45x = 250 era satisfeita por dois valores x = 5 e x = -5 mas, dizia que não considerava a segunda pois as pessoas não "apreciavam" raízes negativas.

Gerônimo Cardano (1501-1576) considerava que o aparecimento de raízes quadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha solução. No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars Magna de Cardano, falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Para tal, considerou as expressões:

Cardano ficou por aqui, não dando significado a estas expressões, pondo de lado a "tortura mental" envolvida, mas teve o mérito de ter sido o primeiro a considerá-las, até porque neste tempo os números negativos eram evitados.

A partir disto é possível derrubar a ideia errada de que os números complexos surgiram com as equações do segundo grau. Os números complexos apareceram sim, a partir das equações de terceiro grau.

Mas, foram preciso cerca de 25 anos para este tema ser de novo considerado, por  Raffaelle Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra.

Ao resolver a equação x³ = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" obtendo a seguinte solução (em notação moderna):

Ele achou estranho este resultado porque conhecia todas as raízes da equação, entre as quais  x = 4. Teve então a estranha ideia de procurar a e b positivos tais que:

Com alguma manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais, mais a propriedade,

chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.

O próprio Bombelli não estava bem seguro do que havia criado. Para os demais matemáticos da época, os números complexos eram vistos com suspeita e quanto muito tolerados, na falta de melhor coisa.

É de referir que alguns matemáticos da época procuraram maneiras de evitar o uso de tais números. Entre eles, Cardano foi o que mais tentou evitar as "torturas mentais" envolvidas no uso de raízes quadradas de negativos. No seu livro De Regula Aliza, de 1570, procurou artifícios que contornassem o uso de tais raízes na resolução de equações de 3º grau obtendo, somente, resultados vagos. 

Raffaelle Bombelli apresentou na sua obra Algebra as leis algébricas que regiam os cálculos entre números da forma :

Em particular, mostrou que as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números desta forma. Ou seja, o conjunto dos complexos é fechado para estas operações.

Em 1629, Albert Girard (1595-1632) utiliza, efectivamente, o símbolo Ö-1 quando enuncia as relações entre raízes e coeficientes de uma equação.

Um grande passo no estudo dos números complexos foi a sua representação visual. Em 1797, o dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818) representou, pela primeira vez, geometricamente os números complexos, estabelecendo uma correspondência bijectiva entre estes e os pontos do plano.
Este trabalho foi levado ao esquecimento, talvez por ter sido publicado em dinamarquês e só por volta de 1806, quando publicado em francês por Jean Argand (1768-1822) ganhou o devido respeito. Por este motivo, esta representação ficou, indevidamente, ligada ao nome de Argand.

É pois possível dizer que, apesar da sua história ser recente, os números complexos envolveram o trabalho de vários matemáticos continuando, ainda  hoje, muitas questões em aberto.

ão 5